تحقیق در مورد مركز سطح

تحقیق مركز سطح

تحقیق در مورد مركز سطح دارای 34 صفحه و با فرمت word وقابل ویرایش میباشد

­فهرست مطالب

تعیین مركز سطح 1

محاسبه ممان اینرسی 2

ممان اینرسی حاصلضرب 3

قضایای پاپوس 4

تعیین مركز سطح

وقتی جسمی با چگالی ρ، ضخامت اندك و ثابتی برابر t داشته باشد، مطابق شكل زیر می‌توان آن را به صورت سطح مسطح A مدل‌سازی كرد. جرم هر جزء از این سطح عبارت است از dm=ρtdA. در این حالت اگر ρ و t در سرتاسر جسم ثابت باشند، مختصات مركز جرم جسم، همان مختصات مركز هندسی سطح (C) خواهد بود و با استفاده از معادله زیر می‌توان مختصات آن را بصورت زیر تعیین كرد:

صورت كسرهای معادلات فوق را گشتاور اول سطح می‌نامند. اگر سطح مطابق شكل زیر خمیده باشد، با هر سه نقطه سروكار داریم. در حالت كلی مركز هندسی C سطح خمیده، روی آن سطح واقع نیست، اگر سطح موردنظر سطحی صاف (مثلاً در صفحه y-z) باشد، فقط باید مختصات C در آن صفحه را تعیین كرد.

در زیر چند عدد از مختصات‌ مركز هندسی اشكال متداول آورده شده است:

مركز هندسی كمان دایره:

مركز هندسی سطح مثلث

مركز سطح قطاع دایره:

محاسبه ممان اینرسی

هرگاه بر عضوی از سازه لنگری خمشی وارد شود، این عضو تمایل به انحنا دارد. سختی این عضو در برابر انحناء را بوسیله ممان اینرسی مقطع نشان می‌دهند. بعد ممان اینرسی از نوع طول می‌باشد و بر حسب توان چهارم سانتیمتر یا میلیمتر بیان می‌شود. هرچند ممان اینرسی بستگی به محوری دارد كه ممان اینرسی نسبت به آن سنجیده می‌شود، اما در مسائل مربوط به محاسبه آن، ممان اینرسی را باید نسبت به تار خنثی بدست آوریم. ممان اینرسی مقاطع سازه در جدول‌هایی آمده است. مثلاً برای مقطع مستطیلی داریم:

اما برای مقاطع مركب از رابطه كلی زیر استفاده می‌كنیم:

كه در آن:

I_n: ممان اینرسی كل مقطع نسبت به محور خنثی

M: ممان لنگر استاتیك تمام اجزاء نسبت به محور مبنای y-y

A: مجموع سطوح تمام اجزای مقطع

I_y: ممان اینرسی نسبت به مركز سطح هر جزء

ممان اینرسی حاصلضرب

ممان اینرسی حاصلضرب برای یك مقطع كه از چندین جزء تشكیل شده است، عبارت است از مجموع جبری ممان اینرسی‌های حاصلضرب قسمت‌های مختلف آن.

كه Ixy اگر در ربع اول و سوم باشد، با علامات مثبت و اگر در ربع دوم و چهارم باشد، با علامت منفی نشان داده می‌شود.

قضایای پاپوس

این قضیه روشی بسیار ساده است كه برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران یك منحنی مسطح حول محوری كه صفحه منحنی را قطع نمی‌كند. در شكل زیر پاره خطی به طول L در صفحه x-y، وقتی حول محور x دوران می‌كند، سطحی را تولید می‌كند. جزئی از این سطح حلقه‌ای است كه توسط dl تولید می‌شود. مساحت كل این حلقه برابر است با:

كه در آن مختصه y مركز سطح C خطی به طول L است.

رابطه ساده‌ای نیز برای محاسبه حجم حاصل از این دوران وجود دارد كه به طریق مشابه بدست می‌آید. این رابطه به صورت زیر می‌باشد:

دو قضیه پاپوس، كه توسط معادله‌های فوق بیان شدند، در تعیین سطح و حجم حاصل از دوران بكار می‌روند. در این روابط اگر خط یا سطحی به اندازه دوران كند، می توان با جایگزین كردن 2π با θ، معادله‌های سطح یا حجم تولید شده را بصورت زیر نوشت:

كه در آن θ بر حسب رادیان است.

این قضایا منسوب به پاپوس اسكندرانی، هندسه‌دان یونانی كه در قرن سوم قبل از میلاد می‌زیست، می‌باشد. این قضایا غالباً با نام گولدنیوس (پل گولدین 1643-1577) مطرح می‌شوند كه مدعی ابداع آنها بود. هرچند یقین داریم كه از آثار پاپوس اطلاع داشته است.