كاربرد روش L1 – تقریب در معادلات انتگرال تكین

معادلات انتگرال را می‌توان با استفاده از فن LP – تقریب (به ویژه L1 تقریب) به طور موثری حل كرد در این متن فن كلی را مورد بحث قرار می‌دهیم و سپس آن را با حل چند معادله انتگرال مختلف توضیح می‌دهیم

كاربرد روش L1 – تقریب در معادلات انتگرال تكین

– مقدمه: معادلات انتگرال را می‌توان با استفاده از فن LP – تقریب (به ویژه L1 تقریب) به طور موثری حل كرد. در این متن فن كلی را مورد بحث قرار می‌دهیم و سپس آن را با حل چند معادله انتگرال مختلف توضیح می‌دهیم. علاوه برامتیازات دیگر، این روش به طور موفقیت آمیزی در مورد معادلات انتگرال تكین و همین طور معادلات انتگرال قویاً تكین (نظیر انتگرال های آدامار یا متناهی – قسمت) تعمیم داده شده و به كار رفته است. در بحث حاضر، مروری بر این مطالعه ارائه می‌شود.

2- مقدمات ریاضی :
به طور كلی هدف این متن عبارت است از كاربرد فن LP- تقریب در حل یك معادله انتگرال فردهولم (خطی یا غیر خطی) نوع اول یا دوم به صورت

در معادلة بالا تابع هدایتگر و هسته K توابعی معلوم اند، در حالی كه تابع مجهول است كه باید آن را بیابیم پارامتر نیز معلوم است. مساله كلی LP- تقریب پیوسته را می‌توان به صورت زیر فرمول بندی كرد:
تابع f معین روی یك بازة حقیقی مانند x همراه با یك تابع تقریب مانند F(A)، كه به متغیر n پارامتری A=(a1 … an) در Rn وابسته است، مفروض اند.
در این صورت مساله LP- تقریب پیوسته به این معنی است كه باید برداری مانند به گونه ای بیابیم كه به ازای هر رابطة :

برقرار باشد.
جنبة اصلی مساله كه باید مورد بحث واقع شود فرمول بندی مجدد مساله معادله انتگرال به صورت یك مساله LP- تقریب است. برای این منظور، فرض كنیم بتوان تابع جواب را با تابع F(A)، كه ممكن است خطی یا غیر خطی باشد، تقریب زد. اگر این تقریب را در معادله انتگرال بگذاریم، رابطة زیر به دست می‌آید:

در آن صورت مساله تقریب را می‌توان بر حسب LP- نرم به صورت:

بیان كرد كه در آن F(A x) نسبت به A روی Rn و نسبت به x روی [a b] تعریف شده است. توجه داشته باشید كه می‌توان عبارت

را تابعی مانند تلقی كنیم كه فقط به A بستگی دارد. پس می‌توان مسأله تقریب را به عنوان یك مسأله مینیمم سازی غیر مقید وابسته به n متغیر an … a1 در نظر گرفت. بنابراین، J فقط باید نسبت به این متغیرها مینیمم شود. در نتیجه، با حل مسأله مینیمم سازی بالا امكان حل تقریبی معادله انتگرال وجود دارد.
برای مطالعة درباره جزئیات این فن (و از جمله آنالیز ریاضی) مراجع [19] [18] تالیف De Klerk را ببینید.
در این مرحله دو تفسیرزیر ضروری اند:
مقادیر مخلتف P را می‌توان مورد استفاده قرار داد. برای مثال به ازای P=1 مسأله منجر می‌شود به مسأله كمترین قدر مطلق و به ازای P=2 مسأله منجر می‌شود به مسألة كمترین مربعات. دلیلی وجودندارد كه مقادیر مثبت دیگر P را در نظر نگیریم. حالت P=2 را بیشتر می شناسیم، در حالی كه حالت P=1 كمتر آشناست. بنابراین احساس می‌شد كه این حالت باید حاوی چالش های عددی جالبی (در رابطه با قدر مطلقی كه در انتگرالده ایجاد می شود) باشد. توجه داشته باشید كه خطی یا غیر خطی بودن انتگرالده بالا نسبت به A بستگی به تابع تقریب F(A) و هسته K دارد. در روش عددی ای كه در اینجا مورد بحث قرار می‌گیرد تمایز خاصی بین خطی یا غیر خطی بودن قائل نمی‌شویم.

3- شیوة عددی و مثال ها :
فن عددی در اصل از دو شیوة عددی تشكیل شده است، یعنی شیوة مینیمم سازی و شیوة انتگرال گیری.
مینیمم سازی با استفاده ازیك الگوریتم استاندارد بهینه سازی انجام می‌گیرد. الگوریتم UMPOL در IMSL Library كه بر پایة روش «سیمپلكس داون هیل» از نلدر و مید (به مثال [37] تالیف Press مراجعه كنید)، كه گر چه زیاد سریع نیست اما این مزیت را دارد كه بسیار قوی است و به مشتق گیری ها نیازی ندارد. در واقع ماشین سر به زیری است كه معمولاً مقدار مینیمم یك تابع را به درستی می‌یابد . همچنین
De Klerk در [20] متذكر شده است كه روش لووس- جاكولا [34] نیز روشی قوی است كه به مشتق گیری ها نیازی ندارد و بررسی بیشتر جواب هایی كه با بهره گیری ازاین روش بدست می آیند را مفید دانسته است.
انتگرال گیری عددی با استفاده از فن كوادراتور اتوماتیكی كه ونتر و لاوری [3] با یك انتگرالده به صورت g(|f(x)|) آورده اند، انجام می‌شود. برای بدست آوردن این شیوه این محققین رویة انتگرال گیری تطبیقی استاندارد QAGE را تغییر داده اند (از QUAD PACK تالیف [35] Piessens ). در حین فرایند انتگرال گیری، با استفاده ازمقادیر موجود برای تابع، صفرهای تابع پیدا می‌شوند كه از آنها (صفرهای تابع) به عنوان نقاط تقسیم در انتگرال گیری استفاده می‌كنیم.
در [20] ذكر شده است كه ونتر ولاوری این روش را با موفقیت بالایی امتحان كرده اند، همچنین در پایان نامه دكتری ونتر نیز از بكارگیری این روش نتایج خوبی بدست آمده است [8].
De Klerk در [18] نتایج رضایت بخشی را با استفاده از این استراتژی تقریب بدست آورده است.
بر خلاف بسیاری روش های دیگر، با استفاده از روشی تقریبی نظیر روش یاد شده،‌ در ساختن جواب نیز آزادی عمل بیشتری داریم (مثلا می توان توابع گویا و توابع مثلثاتی را بكار برد).
با اینكه داشتن تجربه در ارتباط با انتخاب یك تابع تقریب لازم است اما این امر موجب كنار گذاردن روش مذكور نمی شود.
De Klerk با در نظر گرفتن مثال های زیر، برخی از نتایج اصلی سال های گذشته را به بحث می‌گذارد.
مثال (1- ) پارامتر به سمت یكی از مقادیر ویژه مسأله میل می‌كند.
هسته جدایی پذیر زیر را در نظر بگیرید، داریم :

كه در آن دو مجموعه از توابع مستقل خطی هستند.
در این حالت معادله انتگرال فردهولم به طور كلی یك و فقط یك جواب دارد. تنها استثنا وقتی است كه یكی از مقادیر ویژه هسته را به خود می‌گیرد كه در این حالت مسأله جواب ندارد (Tricomi [9]) . مثال بعد كارایی فن مذكور را نشان می‌دهد. معادله انتگرال فردهولم نوع دوم زیررا در نظر بگیرید.