تحقیق در مورد مبحث تابع

هر دستة متشكل از دو عنصر با ترتیب معین را یك زوج مرتب گویند مانند زوچ مرتب (xy) كه x را مؤلفه اول مختص اول یا متغیر آزاد گویند و y را مؤلفه دوم مختص دوم متغیر وابسته( تابع) یا تصویر گویند

مبحث تابع

تعریف زوج مرتب:
هر دستة متشكل از دو عنصر با ترتیب معین را یك زوج مرتب گویند. مانند زوچ مرتب (x y) كه x را مؤلفه اول مختص اول یا متغیر آزاد گویند و y را مؤلفه دوم مختص دوم متغیر وابسته( تابع) یا تصویر گویند و نمایش هندسی آن نقطه‌ای در صفحة مختصات قائم است كه طول آن برابر x و عرض آن برابر y است.
تساوی بین دو زوج مرتب:
دو زوج مرتب با یكدیگر مساوی‌اند اگر دو نقطه اگر مؤلفه‌های نظیر‌به‌نظیر آنها با هم برابر باشند یعنی:

مثال: از تساوی زیر مقادیر x y را بیابید:

تعریف حاصل‌ضرب دكارتی دو مجموعه :
حاصلضرب دكارتی در مجموعه B A كه با نماد نشان داده می‌شود عبارت است از مجموعه تمام زوج‌ مرتبه‌هائی كه مؤلفة اول آنها از A و مؤلفه دوم آنها از B باشد یعنی:

مثال: حاصلضرب دكارتی درهر یك از مثالهای زیر را بصورت مجموعه‌ای از زوجهای مرتب بنویسید و نمودار آن را در دستگاه محورهای مختصات قائم رسم نمائید:

(1

(2

نمودار حاصلضرب دكارتی مجموعه‌های داده شدة زیر را در دستگاه محورهای مختصات قائم رسم كنید.

ویژگی‌های حاصلضرب دكارتی مجموعه‌ها :

فضای دوبعدی ( صفحه) 3)
4)
5) مثال:
تضاد زوجهای مرتب:
تعریف ریاضی رابطه:
اگر B A دو مجموعه دلخواه باشند هر زیرمجموعه از حاصلضرب دكارتی را یك رابطه از A در B گویند اگر f یك زیرمجموعه از باشد گویند. F یك رابطه از A در B است به عبارت دیگر رابطه Fمجموعه تمام زوج مرتب‌های است كه مؤلفه‌های اول و دوم آن با شرایطی خاص( قانون یا ضابطة خاص) به یكدیگر مربوط می‌شوند. به بیان دیگر رابطه f زیرمجموعه‌ای از است كه با ضابطه یا قانون خود مختص اول زوجهای مرتب را به مختص دوم آنها پیوند می‌دهد مانند رابطه پدر و فرزندی رابطه مالك و مستأجری رابطه عبد و مولا رابطه اعداد با مجذور آنها.
مفهوم تابع: تابع بیانگر چگونگی ارتباط مقدار یك كمیت(متغیر وابسته y= ) به مقدار یك كمیت دیگر( متغیر مستقل x= ) است مفهومی كه خواص آن، انواع آن، نمودار‌ آن حد و پیوستگی آن؛ مشتق و انتگرالگیری از آن و… نه تنها در ریاضیات بلكه درهمه علوم و فنون نقش مهمی ایفا می‌كند و در زندگی خود نیز به نمونه‌هایی برمی‌خوریم كه مقدار یك كمیتی( كمیت تابع) به مقدار كمیت دیگری( كمیت آزاد) وابسته است؛
مثال: متغیرهای وابسته (y) و متغیرهای مستقل(x) را در مثالهای زیر مشخص كنید:
1) افزایش طول یك فنر به وزنه‌ای كه به آن آویزان می‌شود بستگی دارد.
جواب: « افزایش طول فنر» = متغیر وابسته(y ) و « مقدار وزنه» = متغیر آزاد (x)
2) »هر كه بامش بیش، برفش بیشتر»
جواب:« مقدار برف انباشته‌شده روی پشت‌بام» = متغیر وابسته(y ) و« مساحت پشت‌بام»= متغیر آزاد
3) مقدار مكعب هر عددی به آن عدد وابسته است.
جواب: مكعب عدد«= متغیر وابسته(y ) و « خود عدد»= متغیر مستقل(x )
تذكر: با توجه به اینكه هر تابع یك رابطه است( عكس این مطلب درست نیست یعنی هر رابط ممكن است تابع نباشد.
تعریف تابع:
اگر رابطهf بصورت مجموعه زوجهای مرتب باشد آنگاه رابطةf را تابع گویندهرگاه هیچ دوزوج مرتب متمایزی در f دارای مؤلفه‌های اول یكسان نباشند یعنی: