تركیبات و نظریه‌ های گراف

در این مقاله می خواهیم به دو مبحث بزرگ از ریاضیات گسسته با نامهای تركیبات و نظریه‌ی گراف بپردازیم كه در این دوران شاهد پیشرفت چشمگیر آنها می باشیم

تركیبات و نظریه‌ های گراف

در این مقاله می خواهیم به دو مبحث بزرگ از ریاضیات گسسته با نامهای تركیبات و نظریه‌ی گراف بپردازیم كه در این دوران شاهد پیشرفت چشمگیر آنها می باشیم .
این دو مبحث بدلیل آنكه دارای كاربرد وسیعی در علم كامپیوتر و برنامه سازی های كامپیوتری می‌باشند حائز اهمیت فراوان می باشند .
1-تركیبات :
شاید در نگاه اول تركیبات یك بخش معماگونه و سطحی از ریاضیات به نظر برسد كه دارای كاربرد چندانی نبوده و فقط مفهوم های انتزاعی را معرفی می كند ولی این شاخه از ریاضیات دارای گستره‌ی وسیع بوده و دارای شاخه های زیادی نیز می باشد .
ابتدا به مسأله ای زیبا از تركیبات برای آشنا شدن بیشتر با این مبحث ارائه می كنیم .
سوال : یك اتاقی مشبك شده به طول 8 و عرض 8 داریم كه خانه‌ی بالا سمت چپ و خانه‌ی پایین سمت راست‌ آن حذف شده است (مانند شكل زیر)

حال ما دو نوع موزاییك داریم . یكی 2*1 ( ) و دیگری 1×2 ( ) سوال این است كه آیا می توان این اتاق را با این دو نوع موزائیك فرش كرد .
احتمالاً اگر شخص آشنایی با تركیبات نداشته باشد می گوید «آری» و سعی می كند با كوشش و
خطا اتاق را فرش كند ولی این كار شدنی نیست ؟! و اثبات جالبی نیز دارد .
اثبات : جدول را بصورت شطرنجی رنگ می كنیم مانند شكل زیر :
حال با كمی دقت متوجه می شویم كه هر موزائیك یك خانه از خانه های سیاه و یك خانه از خانه‌های سفید را می پوشاند یعنی اگر قرار باشد كه بتوان با استفاده از این موزائیك ها جدول پوشانده شود باید تعداد خانه های سیاه با تعداد خانه های سفید برابر باشد ولی این گونه نیست زیرا تعداد خانه های سفید جدول برابر 32 و تعداد خانه های سیاه برابر 30 می باشد . در نتیجه این كار امكان امكان پذیر نیست .

این مسأله مربوط به مسائل رنگ آمیزی در تركیبات بوده كه دارای دامنه‌ی وسیعی از مسائل دشوار و پیچیده می باشد در زیر چند نمونه از مسائل آسان و سخت را بیان می كنیم .
1-ثابت‌كنید هیچ جدولی را نمی توان به موزائیك هایی به شكل و پوشاند .
(راهنمایی: ثابت كنید حتی سطر اول جدول را هم نمی توان پوشاند)
2-ثابت كنید یك مهره‌ی اسب نمی تواند از یك خانه‌ی دلخواه صفحه‌ی n*4 شروع به حركت كند و تمام خانه ها را طی كند .
3-یك شبكه‌ی n*m از نقاط داریم یك مسیر فراگیر مسیری است كه از خانه‌ی بالا سمت چپ
شروع به حركت كرده و از همه‌ی خانه هر كدام دقیقاً یك بار عبور كند و به خانه‌ی سمت راست پایین برود ثابت كنید شرط لازم و كافی برای وجود یك مسیر فراگیر در شبكه‌ی n*m آن است كه لااقل یكی از m یا n فرد باشد (مرحله‌ی دوم المپیاد كامپیوتر ایران) در شكل زیر یك مسیر فراگیر را برای جدول 5*4 می بینیم .

B
4-ثابت كنید شرط لازم كافی برای پوشش جدول n*m با موزائیك های 2*1 یا 1*2 آن است كه یا m یا n زوج باشند .
حال می‌خواهیم یك مبحث مهم از تركیبات به نام استقراء را معرفی كنیم.
استقراء بعنی رسیدن ازجزء به كل و هم ارز است با اصل خوشترتیبی زیر مجموعه‌ها( اصل خوشتربینی بیان می‌كند كه هر مجموعه متناهی از اعداد عضوی به نام كوچكترین عضو دارد).
برای اثبات حكمی به كمك استقراء لازم است:
1) حكم را برای یك پایة دلخواه(كه معمولاً كوچك باشد) ثابت كنیم.
2) حكم را برای یك k دلخواه فرض می‌گیریم.
3) به كمك قسمت 2 حكم را برای ثابت می‌كنیم.
بسیاری از گزاره‌ها به كمك این استقراء كه در ظاهر ساده است ثابت می‌شود:
یك مثال ساده:
ثابت كنید: .
برای كه داریم و حكم برقرار است:
فرض كنیم برای درست باشد حكم را برای ثابت می‌كنیم داریم:

كه این قسمت طبق فرض بردار می‌باشد
و برای نیز حكم مسأله برقرار است.
یك مثال سخت:
این سئوال در المپیاد كامپیوتر امسال مطرح شده و ما فقط یك قسمت آنرا بطور خلاصه بیان می‌كنیم.
سئوال: در روز A دارای تعداد مجموعه می‌باشد بطوریكه هیچ مجموعه‌‌ای زیرمجموعة دیگری نیست یعنی اكر )
حل شایان در روز B می‌آید از روی مجموعه‌های A تمام مجموعه‌هایی را نمی‌سازیم كه دارای دو شرط زیر می‌باشند:
1- هر مجموعه‌ای دلخواه در روز B با تمام مجموعه‌ها در روز A اشتراك دارد.
2-اگر از یك مجموعة دلخواه در روز B یك عضو را حذف كنیم آنگاه دیگر شرط 1 برقرار نباشد( كه به این شرط، شرط مینیمالی می‌گوئیم:
حال فراز در روز C از روی مجموعه‌های B تمام مجموعه‌هایی با دو شرط بالا را می‌سازد ثابت كنید ( یعنی تمام مجموعه‌های روز اول در روز سوم نیز تولید شده‌اند)
اثبات: ابتدا لم زیر را ثابت می‌كنیم:
لم: به ازای هر مجموعة دلخواه در روز A مثل در روز B n تتا مجموعه وجود دارند بطوریكه هر كدام از آنها دقیقاً یكی از اعضای را دارند( ممكن است اعضای دیگری نیز داشته باشند ولی هر كدام دقیقاً یكی از را دارند.)
اثبات لم: با استقراء روی تعداد مجموعه‌های روز اول حكم را ثابت می‌كنیم. برای یك مجموعه در روز A وضعیت مجموعه‌ها در روزهای C B A مشخص شده‌اند: